Question

已知函f（x）=

1

2

cosx-

1

2

sinx
（Ⅰ）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）f（a）=

3 2

10

，求sin2a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系式将f（x）化为f（x）=

2

2

cos（x+

π

4

），即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可求得cos（α+

π

4

）=

3

5

，利用二倍角的余弦可求得cos（

π

2

+2α），再利用诱导公式即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=

1

2

cosx-

1

2

sinx
=

2

2

cos（x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期为2π，
由2kπ-π≤x+

π

4

≤2kπ（k∈Z）得：
2kπ-

5π

4

≤x≤2kπ-

π

4

（k∈Z），
∴函数f（x）的递增区间为[2kπ-

5π

4

，2kπ-

π

4

]（k∈Z）；…（6分）
（Ⅱ）由（1）知，f（α）=

2

2

cos（α+

π

4

）=

3 2

10

，
∴cos（α+

π

4

）=

3

5

．
∴sin2α=-cos（

π

2

+2α）
=-cos2（α+

π

4

）
=1-2cos2(α+

π

4

)
=1-

18

25

=

7

25

，…（13分）

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，考查辅助角公式与二倍角的余弦及诱导公式，属于中档题．