Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n ．
（1）设bn= ．证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2an+2n．两边同除以2n得

∴ ，即bn+1﹣bn=1

∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列

（2）解：由（1）得

∴an=n2n﹣1

Sn=20+2×21+3×22+…+n2n﹣1

2Sn=21+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n

∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n2n

=

∴Sn=（n﹣1）2n+1

【解析】（1）由an+1=2an+2n构造可得 即数列{bn}为等差数列（2）由（1）可求 =n，从而可得an=n2n﹣1 利用错位相减求数列{an}的和
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．