Question

设圆（x-2）²+（y-2）²=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（Ⅰ）证明：（a-4）（b-4）为定值；
（II）求线段AB中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若a＞4，b＞4，求△AOB的周长的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设直线l的方程，利用圆心（2，2）到切线l的距离d=r，化简即可证得结论；
（II）求得A、B、M坐标之间的关系，代入（a-4）（b-4）=8，即可求得线段AB中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8，利用基本不等式可得ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥8（3+2

2

），从而可求△AOB的周长t=a+b+

a2+b2

的最小值．

解答：（Ⅰ）证明：直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，则圆心（2，2）到切线l的距离d=r，
即

|2b+2a-ab|

b2+a2

=2，即ab-4（a+b）+8=0，
∴（a-4）（b-4）=8为定值；
（II）解：设AB的中点为M（x，y），则

a 2 =x b 2 =y

，
∴a=2x，b=2y，代入（a-4）（b-4）=8，
得线段AB中点M的轨迹方程为（x-2）（y-2）=2（xy≠0）；
（Ⅲ）解：由ab-4（a+b）+8=0可得ab=4（a+b）-8
 又a＞4，b＞4，∴ab=4[（a-4）+（b-4）+6]≥4[2

(a-4)(b-4)

+6]=8（3+2

2

）
所以△AOB的周长t=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=（2+

2

）

ab

≥4（3+2

2

）（当且仅当a=b=4+2

2

时取等号）
所以△AOB的周长的最小值是12+8

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．