Question

（本小题满分12分）

如图椭圆：的两个焦点为、和顶点、构成面积为32的正方形.

（1）求此时椭圆的方程；

（2）设斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、、为的中点，且. 问：、两点能否关于直线对称. 若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) . (2) 当时，、两点关于过点、的直线对称.

【解析】

试题分析：由已知可得且，所以.

所求椭圆方程为.

②设直线的方程为，代入，

得.

由直线与椭圆相交于不同的两点知，

.   ②

要使、两点关于过点、的直线对称，必须.

设、，则，.

，，

解得.  ③

由②、③得，，

，.  或.

故当时，、两点关于过点、的直线对称.

考点：本试题考查了椭圆的知识。

点评：解决该试题关键是对于椭圆方程的求解，要运用其性质来得到关于a,b,c的关系式来得到结论，而对于直线与椭圆的位置关系的考查，要联立方程组，结合韦达定理和判别式来期间诶得到范围，属于中档题。