Question

（本小题满分14分）已知等比数列的前项和为，，，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求适合方程的正整数的值．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差中项、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、对数式的运算、裂项相消法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用等差中项的概念列出等式，再利用等比数列的通项公式将转化成和q，解出q的值，最后直接代入到中即可；第二问，先利用等比数列的前n项和将展开，代入到，利用对数式的运算，化简得到，最后利用裂项相消法化简，然后解出n的值.

试题解析：（1）设数列的公比为，由，得．

由，，成等差数列，

故，所以，

得，故． 2分

解得，或（舍）． 4分

所以； 6分

（2）由（1）得，

故， 8分

所以． 9分

． 11分

由题意得．. 13分

解得，

满足题意得． 14分

考点：等差中项、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、对数式的运算、裂项相消法.