Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设T_n为数列{

an

2n

}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由na_n+1=S_n+n结合通项和前n项和的关系，转化为a_n+1-a_n=2（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．
（2）由（1）求得 a_n代入整理得

an

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

是一个等差数列与等比数列对应项积的形式，用错位相减法求其前n项和．

解答：解：（1）na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，a_n+1-a_n=2（n≥2）a₁=2，a₂=s₁+2，
∴a₂-a₁=2，所以{a_n}等差a_n=2n

（2）

an

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

，Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

1

2

Tn=2-(n+2)

1

2n

，Tn=4-

n+2

2n-1

点评：本题主要考查数列的转化与通项公式和求和方法，这里涉及了通项与前n项和之间的关系及错位相减法，这是数列考查中常考常新的问题，要熟练掌握．