Question

【题目】已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，－ )．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；

(3)求△F1MF2的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）6.

【解析】试题分析：（1）根据双曲线的离心率，得到双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为x2-y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）把点M（3，m）代入双曲线，可得出m2＝3，再代入·，即可证明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．

试题解析：

(1)∵离心率e＝，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，知

λ＝42－(－)2＝6，

∴双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.

(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.

由双曲线x2－y2＝6知，F1(2，0)，F2(－2，0)，

∴·＝(2－3，－m)·(－2－3，－m)

＝9－(2)2＋m2＝0.

∴⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上．

(3)S△F1MF2＝×2c×|m|＝c|m|＝2×＝6.