Question

已知函数f（x）=2cos2x+sin²x-4cosx．
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=

π

3

代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；
（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin²x变为1-cos²x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos²x-1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f(

π

3

) =2cos

2π

3

+sin2

π

3

-4cos

π

3

=-1+

3

4

-2=-

9

4

；
（Ⅱ）f（x）=2（2cos²x-1）+（1-cos²x）-4cosx
=3cos²x-4cosx-1
=3(cosx-

2

3

)2-

7

3

 ，x∈R，
因为cosx∈[-1，1]，
所以当cosx=-1时，f（x）取最大值6；当cosx=

2

3

时，取最小值-

7

3

．

点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．