Question

设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得：．               ……………1分

由为偶函数，得为偶函数，

显然有．                                          …………2分

又，所以，即．               …………3分

又因为对一切实数恒成立，

即对一切实数，不等式恒成立．     …………4分

显然，当时，不符合题意．                           …………5分

当时，应满足

注意到 ，解得．                       …………7分

所以．                            ……………8分

（Ⅱ）证明：因为，所以．………9分

要证不等式成立,

即证．                     …………10分

因为,                 …………12分

所以

．

所以成立．                 ……………14分