Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知AB=1，BC=1，BB1=2，∠BCC1=

π

3

．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得二面角B-AB₁-E的余弦值为

6

4

，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证明C₁B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC₁AB⊥，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC；则需要通过解三角形来证明
（2）过点E作EG⊥BB₁于点G，过点G作GH⊥AB₁于点H，则∠EHG为所求二面角的平面角，，设CE=x，列出相应的方程并探讨解的情况．

解答：证明：（1）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁，
在△BC₁C中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

由余弦定理有：
BC1=

BC2+CC12-2•BC•CC1 • cos∠BCC1

=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

，
故有BC²+BC₁²=CC₁²∴C₁B⊥BC，
而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；
（2）∵AB⊥面BB₁C₁C
过点E作EG⊥BB₁于点G，过点G作GH⊥AB₁于点H，则∠EHG为所求二面角的平面角，设CE=x，则BG=x-

1

2

SBB1C1C=BC•CC1•sin∠BCC1=CC1•EG，得EG=

3

2

在面ABB₁A₁中，GH=

5

5

(

5

2

-x)
所以tan∠EHG=

3 2

5 5 ( 5 2 -x)

=

15

3

，得x=1，即E为中点

点评：本题主要考查空间角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法