Question

10．在数列{a_n}和{b_n}中，a₁=2，且对任意自然数n都满足3a_n+1-a_n=0，b_n是a_n与a_n+1的等差中项，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 由已知条件得到数列{a_n}是首项为2，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，再由b_n是a_n与a_n+1的等差中项，求出b_n，由此利用等比数列的前n项和公式能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：∵在数列{a_n}中，a₁=2，且对任意自然数n都满足3a_n+1-a_n=0，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴a_n=2×（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∵b_n是a_n与a_n+1的等差中项，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{2×（\frac{1}{3}）^{n-1}+2×（\frac{1}{3}）^{n}}{2}$=（$\frac{1}{3}$）^n-1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=4×（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=4×[$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}+…+（\frac{1}{3}）^{n}$]
=4×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$
=2-$\frac{2}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．