Question

已知椭圆C的中心O在原点，长轴在x轴上，焦距为6，短轴长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（-5，0）作倾斜角为

π

4

的直线交椭圆C于A、B两点，求△ABO的面积．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意可求2c，2b，然后由a²=b²+c²可求a，进而可求椭圆C方程
（2）直线AB方程为：y=x+5，由

y=x+5 x2 25 + y2 16 =1

可求A，B，代入三角形的面积公可求

解答：解：（1）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意得：2c=6，2b=8，
∴c=3，b=4
∴a=5
所以椭圆C方程为

x2

25

+

y2

16

=1（7分）
（2）不妨设A（-5，0），直线AB方程为：y=x+5，由

y=x+5 x2 25 + y2 16 =1

得

x=- 45 41 y= 160 41

（11分） 
所以S△OAB=

1

2

OA•|yB|=

1

2

×5×

160

41

=

400

41

（14分）
说明：用根与系数关系和弦长公式去做，同样给分．

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的相交关系的应用，属于中档试题．