Question

动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域(含边界)上运动，且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过点Q(0，－1)作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积.

Answer 1

(1)设P(x，y)，根据题意，

得＋3－y＝4，

化简，得y＝x²(y≤3).

 (2)设过Q的切线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程，整理得x²－4kx＋4＝0.

由Δ＝16k²－16＝0，解得k＝±1.

于是所求切线方程为y＝±x－1(亦可用导数求得切线方程).

切点的坐标为(2,1)，(－2,1).

由对称性知所求的区域的面积为

S＝2∫[x²－(x－1)]dx＝.