Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求线段PA上点Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC
又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC
∴PC⊥平面BDE，（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有
BD⊥DQ（8分）

（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC=
计算得AD=AC所以点Q在线段PA的处，
即AQ=AP时，PC∥QD，从而PC∥平面BDQ．（12分）
分析：（Ⅰ）要证PC⊥平面BDE，只需证明PC垂直平面BDE内的两条相交直线BE、DE即可．
（Ⅱ）点Q是线段PA上任一点，要证BD⊥DQ，只需证明BD垂直平面PAC即可；
（Ⅲ）点Q在线段PA的处，此时PC∥QD，利用直线与平面平行的判定，可证得PC∥平面BDQ．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．