Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为4(

2

+1)
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，|

OP

|=1，是否存在上述直线l使

AP

•

PB

=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知

c

a

=

2

2

，2a+2c=4(

2

+1)，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），假设使

AP

•

PB

=1成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，由

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1，知x₁x₂+y₁y₂=0．将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-8）=0，由韦达定理能够导出k²=-1，即此时直线l不存在；当l垂直于x轴时，满足|

OP

|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，由此能够导出此时直线l不存在．所以使

AP

•

PB

=1成立的直线l不存在．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，
由题意知

c

a

=

2

2

，2a+2c=4(

2

+1)
所以a=2

2

，c=2，又a²=b²+c²，因此b=2
故椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1（6分）
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
假设使

AP

•

PB

=1成立的直线l存在，
（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1
∵

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1，
∴

OA

•

OB

=(

OP

+

PA

)•(

OP

+

PB

)
=

OP

2+

OP

•

PB

+

PA

•

OP

+

PA

•

PB

=1+0+0-1=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0
将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-8）=0
由求根公式可得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
因此（1+k²）（2m²-8）-4k²m²+m²（1+2k²）=0
将m²=k²+1代入上式并化简得k²=-1，
即此时直线l不存在；（10分）
（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足|

OP

|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，
当x=1时，A，B，P的坐标分别为(1，

14

2

)， (1，-

14

2

)， (1，0)，
∴

AP

=(0， 

14

2

)，  

PB

=(0， 

14

2

)，∴

AP

•

PB

=

7

2

≠1
当x=-1时，同理可得

AP

•

PB

≠1，矛盾，即此时直线l不存在
综上可知，使

AP

•

PB

=1成立的直线l不存在．（14分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，提高解题能力和解题技巧．