Question

22、如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．

Answer 1

分析：（1）要证明l是⊙O的切线，可利用切线的判定定理，由于P点已经在圆上，故我们可以证明l与过P点的半径垂直，即可得到结论；
（2）要想得到PB平分∠ABD，即证∠DBP=∠ABP，观察到已知中及（1）的结论中有多个垂直关系，又由AB为直径也可得到∠APB=90°，故可以结合弦切角定理，利用等量代换的思想解决问题．

解答：证明：（1）连接OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，
从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，
所以l是⊙O的切线．

（2）连接AP，
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠PBD=90°，
∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，
即PB平分∠ABD．

点评：本题（1）考查的知识点是切线的判定定理：过半径的一端与半径垂直的直线是圆的切线，他的证明思路有两种，一是先做垂直，再证明线段长等于半径；一是先做半径然后证明直线与半径垂直．而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．