Question

已知抛物线x²＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

（1）见解析（2）32

(1)证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB的斜率存在且不为0,
则可设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去y，得x²－4kx－4＝0，显然Δ＝16k²＋16>0.
所以x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4，
由x²＝4y，得y＝x²，所以y′＝x,所以，直线AM的斜率为k_AM＝x_1,
所以，直线AM的方程为y－y₁＝x₁(x－x₁)，又＝4y_1,
所以，直线AM的方程为x₁x＝2(y＋y₁)①，同理，直线BM的方程为x₂x＝2(y＋y₂)②，
②－①并据x₁≠x₂得点M的横坐标x＝，即A、M、B三点的横坐标成等差数列．
(2)解：由①②易得y＝－1，所以点M的坐标为(2k，－1)(k≠0).
所以k_MF＝＝－，则直线MF的方程为y＝－x＋1，
设C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)由消去y，得x²＋x－4＝0，显然Δ＝＋16>0,
所以x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝－4，又|AB|＝
＝＝4(k²＋1)，
|CD|＝＝
，
因为k_MF·k_AB＝－1，所以AB⊥CD，
所以S_ACBD＝|AB|·|CD|＝8≥32,
当且仅当k＝±1时，四边形ACBD面积取到最小值32.