Question

已知函数f(x)=2x-

a

2x

，将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称，求函数y=h（x）的解析式；
（3）设F(x)=

1

a

f(x)+h(x)，设F（x）的最小值为m．是否存在实数a，使m＞2+

7

，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据坐标平移的规律左加右减得到g（x）的解析式；
（2）设出h（x）上任一点的坐标求出关于y=1对称点的坐标代入g（x）求出h（x）的解析式即可；
（3）根据已知先求出F（x）的解析式，分四种情况讨论a的取值，因为F（x）的最小值是m，所以只有当

1

4

＜a＜4时，根据不等式的基本性质求出F（x）的最小值等于m，又根据m＞2+

7

，列出不等式组求出解集即可．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2x-

a

2x

，将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）的图象，
g（x）=f（x-2）=2x-2-

a

2x-2

；
（2）设y=h（x）上的任意点P（x，y），则P关于y=1对称点为Q（x，2-y），点Q在y=g（x）上，所以h（x）=2-2x-2+

a

2x-2

；
（3）F（x）=（

1

a

-

1

4

）2^x+（4a-1）(

1

2

)x+2
①当a＜0时，

1

a

-

1

4

＜0，4a-1＜0，∴F（x）＜2，与题设矛盾
②当0＜a≤

1

4

时，

1

a

-

1

4

＞0，4a-1≤0，F（x）在R上是增函数，F（x）无最小值；
③当a≥4时，

1

a

-

1

4

≤0，4a-1＞0，F（x）在R上是减函数，F（x）无最小值
④当

1

4

＜a＜4时，

1

a

-

1

4

＞0，4a-1＞0，F（x）≥2

(4-a)(4a-1) 4a

+2=m
由m＞2+

7

，得

1 4 ＜a＜4 (4-a)(4a-1) a ＞7

，
∴1＜a＜4

点评：本题考查函数的解析式，考查图象的平移，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．