Question

直线y=

m

2

x与圆x²+y²+mx+ny-4=0交于M、N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则弦MN的长为

4

．

Answer 1

分析：由直线与圆两交点M、N关于x+y=0对称，得到圆心在x+y=0上，且直线的斜率为1，求出m的值，由圆的方程找出圆心坐标，代入x+y=0中，求出n的值，确定出圆的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再利用垂径定理及勾股定理即可求出弦MN的长．

解答：解：解：∵直线与圆的两交点M、N关于x+y=0对称，
∴直线y=

m

2

x的斜率为1，且圆心在x+y=0上，
∴

m

2

=1，圆心（-

m

2

，-

n

2

）在x+y=0上，即m+n=0，
∴m=2，n=-2，
∴圆的方程化为（x+1）²+（y-1）²=6，直线方程为y=x，
∴圆心到直线的距离d=

2

2

=

2

，r=

6

，
则弦MN的长为2

r2-d2

=4．
故答案为：4

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．