Question

已知公比为的等比数列{}是递减数列，且满足++=，=

   （I）求数列{}的通项公式；

   （II）求数列{}的前项和为；

   （Ⅲ）若，证明：≥.

Answer 1

解：由=，及等比数列性质得=，即=，……1分

由++=得+=

由得所以，即3²－10+3=0

解得=3，或=…………………………3分

因为{}是递减数列，故=3舍去，∴=，由=，得=1

故数列{}的通项公式为=（∈N^*）………………4分

   （II）由（I）知=，所以=1+++…+   ①

     =+++…++  ②……………………5分

①－②  得：=1++++…+－

=1+2（+++…+）－

=1+2－=2－－

所以=3－………………………………8分

   （Ⅲ）因为=+=，……………………9分

所以=++…+

=2[()+（）+…+（）]

=2（－）……………………11分

因为≥1，－≥= ，

所以≥.…………………………12分