Question

（2012•湛江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S=

3

2

abcosC．
（1）求角C的大小；
（2）求H=2sin

A

2

cos

A

2

-cos(

π

3

+B)的最大值，及取得最大值时角A的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式结合三角形的内角求出C的正切，然后求出C的大小．
（2）利用（1）以及二倍角公式化简H的表达式，通过两角和的正弦函数求H为一个角的一个三角函数的形式，结合A 的范围求出A+

π

4

的范围，利用三角函数的最值，求出H的最大值以及A的值．

解答：解：（1）由S=

1

2

absinC及题设条件，得

1

2

absinC=

3

2

abcosC，
即sinC=

3

cosC，
又cosC≠0，∴tanC=

3

．
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．
（2）由（1）得B=

2π

3

-A
H=2sin

A

2

cos

A

2

-cos（

π

3

+B）
=sinA-cos[

π

3

+(

2π

3

-A)]
=sinA+cosA
=

2

sin（A+

π

4

）
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

11π

12

，
当A+

π

4

=

π

2

，即A=

π

4

时，H取得最大值

2

．

点评：本题考查三角形的面积公式的应用，两角和的正弦函数的应用，三角函数的有界性的应用，考查计算能力．