Question

【题目】四棱锥中，PC⊥面ABCD，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，点M在PB上且PB=4PM，PB与平面PCD所成角为60°.

（1）求证：面：

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）在线段AB上取一点N，使，可证平面，由，可得，得到平面，从而可证面面平行，再根据面面平行得结果；
（2）以C为原点，CB，CD，CP所在直线为轴,轴,轴，建立空间坐标系,用向量法求解二面角.

（1）在线段AB上取一点N，使，

因为，所以且，

所以为平行四边形，

所以， 平面，平面,则平面

在三角形ABP中，，所以，

平面，平面,则平面

所以平面MNC//平面PAD，又平面MNC，

所以CM平面PAD

（2）以C为原点，CB，CD，CP所在直线为轴,轴,轴，建立空间坐标系.

面ABCD，所以，

又因为，所以面，

所以在面PCD的射影为PC，

所以与平面PCD所成角，

所以

所以，

.

面法向量，

面法向量

，所以，

所以，

所以二面角所成角的余弦值为