题目内容
已知函数f（x）=
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值．
| 1 |
| 3 |
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值．
（1）f′（x）=x2-2ax+a2-1，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=
-a+a2-1+b，
又f′（1）=-1，
∴a2-2a+1=0，
解得a=1，b=
．
（2）∵f（x）=
x3-x2+
，
∴f′（x）=x2-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=
，f（2）=
，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在区间[-2，4]上的最大值为8．
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=
| 1 |
| 3 |
又f′（1）=-1，
∴a2-2a+1=0，
解得a=1，b=
| 8 |
| 3 |
（2）∵f（x）=
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴f′（x）=x2-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
| x | （-∞，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 增 | 极大值 | ?减 | 极小值 | 增 |
∵f（0）=
| 8 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴在区间[-2，4]上的最大值为8．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
，g（x）=1+
，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（ ）
| 1 |
| |x| |
| x+|x| |
| 2 |
| A、（-∞，-1）∪（0，1） | ||||
B、(-∞，-1)∪(0，
| ||||
C、(-1，0)∪(
| ||||
D、(-1，0)∪(0，
|