Question

定义F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）．
（1）设函数f（n）=

F(n，2)

F(2，n)

（n∈N*），求函数f（n）的最小值；
（2）设g（x）=F（x，2），正项数列{a_n}满足；a₁=3，g（a_n+1）=8an，求数列{a_n}的通项公式，并求所有可能乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（n）=

F(n，2)

F(2，n)

=

2n

n2

，要求f（n）的最小值，只要判断f（n）的单调性，利用比较法中的比商：

f(n+1)

f(n)

=

2n2

(n+1)2

，只要判断2n²与（n+1）²的大小即可判断
（2）先由 条件可求g（x）=F（x，2）=2^x，代入可得g（a_n+1）=2an+1，结合g（a_n+1）=8an=23an，可得a_n+1与a_n的递推关系，进而可求通项，设所求的和为S，则S=a₁•a₁+（a₁+a₂）•a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n）•a_n利用分组求和的可求

解答：解：（1）∵F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）．
∴f（n）=

F(n，2)

F(2，n)

=

2n

n2

，
∴

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

(n+1)2

•

n2

2n

=

2n2

(n+1)2

，
由于2n²-（n+1）²=（n-1）²-2，
当n≥3时，f（n+1）＞f（n）； 当n＜3时，f（n+1）＜f（n），
所以当n=3时，f（n）_min=f（3）=

8

9

；…（6分）
（2）∵g（x）=F（x，2）=2^x，
∴g（a_n+1）=2an+1，
又∵g（a_n+1）=8an=23an，
所以a_n+1=3a_n，而a₁=3，所以a_n=3ⁿ；…（9分）
设所求的和为S，
则S=a₁•a₁+（a₁+a₂）•a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n）•a_n…（11分）
=3•3¹+（3+3²）•3²+…+（3+3²+…+3ⁿ）•3ⁿ…（12分）
=

3(1-31)

1-3

•3¹+

3(1-32)

1-3

•3²+…+

3(1-31)

1-3

•3ⁿ
=-

3

2

(3+32+…+3n)+

3

2

(9+92+…+9n)
=-

3

2

•

3(1-3n)

1-3

+

3

2

•

9(1-9n)

1-9

=

3

16

×9n+1-

1

4

×3n+2+

9

16

…（14分）．

点评：本题主要考查了利用单调性求解函数的最值，及分组求和方法、等比数列的通项公式的应用，属于函数与数列知识的综合应用．