Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．
（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证AC⊥平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD为菱形得到AC⊥BD，则由线面垂直的判定定理得到答案；
（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，求出二面角A-FC-B的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；
（3）求出向量的坐标，直接用向量与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC所成角的正弦值．
解答：（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
且O为AC中点．又FA=FC，
所以AC⊥FO．  
因为FO∩BD=O，
所以AC⊥平面BDEF．  
（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO⊥BD，
故FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，所以OB=1，．
所以 ．
所以 ，．
设平面BFC的法向量为，
则有，所以，取x=1，得．
由图可知平面AFC的法向量为．
由二面角A-FC-B是锐角，得=．
所以二面角A-FC-B的余弦值为；
（3）解：，
平面BFC的法向量，
所以=．
则．
点评：本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．