Question

张老板投资28万元经营某一消费品专买店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q（百件）与销售单价p（元/件）之间的关系用如图的一折线表示，职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（1）把q表示为p的函数；
（2）当销售价为52元每件，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（3）若该店只安排40名职工，问张老板最早可在几年后收回成本？

Answer 1

【答案】分析：（1）从图中看，这是一个分段一次函数，40＜x≤60和60＜x＜100时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本-员工工资-其它费用，列出方程即可解；
（3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解．
解答：解：（1）当40≤p≤58时，由两点式得，
即q=-2p+140，（2分）
当58＜p≤81时，由两点式得，即q=-p+82；
∴（4分）
（2）设该店有职工m名，当p=52时，
该店的总收入为q（p-40）×100=100（-2p+140）（p-40）=43200元，
该店的总支出为600m+13200元，（6分）
依题意得43200=600m+132000，解得：m=50
答：此时该店有50名职工．（8分）
（3）若该店只安排40名职工，
则月利润S=，（10分）
当40≤p≤58时，S=-2（p-55）²+7800，所以p=55时，S取最大值7800元；
当58＜p≤81时，S=-（p-61）²+6900，所以p=61时，S取最大值6900元；
故当p=55时，S取最大值7800元；（12分）
设张老板最早可在n年后收回成本，则12n×7800-280000≥0，
解得：，∵n∈N₊，∴n的最小值为3．
答：张老板最早可在3年后收回成本．（14分）
点评：本题考查了一次函数关系式、分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．函数模型为分段函数时，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．