Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分别为棱DD₁、AB、BC的中点．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）画出一个正方体的表面展开图，使其满足“有4个正方形相连成一个长方形”这一条件，并求展开图中P、B两点间的距离（设正方体的棱长为1）．

Answer 1

分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我们要先找出二面角的平面角，再构造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况，再标识出P点即可，从而可求PB．

解答：解：（1）连接BD交MN于F，则BF⊥MN，连接B₁F．
∵B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥MN．
又∵BD⊥MN，B₁B∩BD=B，∴MN⊥平面B₁BF
∴MN⊥B₁F，∴∠B₁FB为二面角B₁-MN-B的平面角．
在Rt△B₁BF中，B₁B=1，BF=

2

4

，∴tan∠B₁FB=2

2

；
（2）符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一．

由图可知PB=

1+( 3 2 )2

=

13

2

点评：本题考查线面角，考查展开图，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．