Question

已知函数f(x)=a(cos2

x

2

+

1

2

sinx)+b．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当a＜0，且x∈[

π

2

，π]时，f（x）的值域为[4，6]，求a，b的值．

Answer 1

f（x）=a（cos²

x

2

+

1

2

sinx）+b=

a

2

（cosx+sinx）+

a

2

+b=

2 a

2

sin（x+

π

4

）+

a

2

+b，
（1）当a=2时，f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+b+1，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z），解得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，（k∈Z），
则函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[

π

2

，π]，∴x+

π

4

∈[

3π

4

，

5π

4

]，
∴sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
∵a＜0，
∴

a+b=4 b=6

，
解得：a=-2，b=6．