Question

如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。

（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN；
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=，试用表示△AMN 的面积，当取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC，
又AB为斜边，
∴BC⊥AC，
又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC。
（2）证明：∵BC⊥平面PAC，AN平面PAC，
∴BC⊥AN，
又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，
又PB平面PBC，
∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A ，
∴PB⊥平面AMN。
（3）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，
∴PB=4，
∵PM⊥AB，
∴AM=PB=2，
∴PM=BM=2，
又∵PB⊥面AMN，MN平面AMN，
∴PB⊥MN，
∵MN=PM·tanθ=2tanθ，且AN⊥平面PBC，MN平面PBC，
∴AN⊥MN，
∵AN=，
,
∴当tan²θ=，即时，有最大值2，
∴当时，面积最大，最大值为2。