Question

设函数f(x)=x²e^x-1-x³-x²（x∈R），
(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)求y=f(x)在[-l，2]上的最小值；
(Ⅲ)当x∈(1，+∞)时，用数学归纳法证明：n∈N*，e^x-1＞。

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令，可得，

函数y=f(x)的增区间为（-2，0）和(1，+∞)，减区间为（-∞，-2）和(0，1)。 
 (Ⅱ)当时，，，
，
所以，f(x)在上的最小值为。
 (Ⅲ)设，
当n=1时，只需证明，
当时，，
所以，在上是增函数，
∴，即，
当时，假设n=k时不等式成立，
即，
当n=k+1时，
因此，，
所以，在上是增函数，
所以，，
即当n=k+1时，不等式成立，
所以，当时，。