Question

已知函数f（x）=klnx+（k-1）x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）存在最大值M，且M＞0，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对k的大小进行分类讨论，进而确定函数的单调性．
（Ⅱ）根据函数的增减区间确定函数的最大值，从而解出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由题意得f′(x)=

k

x

+k-1=

(k-1)x+k

x

，
当k≤0时，由x＞0知f′(x)=

k

x

+k-1＜0恒成立，
此时f（x）在定义域内单调递减；
当k≥1时，由x＞0知f′(x)=

k

x

+k-1＞0恒成立，
此时f（x）在定义域内单调递增；
当0＜k＜1时，由f′（x）＞0，
得x＜

k

1-k

，
由f′（x）＜0，
解得x＞

k

1-k

，
此时f（x）在(0，

k

1-k

)内单调递增，在(

k

1-k

，+∞)内单调递减，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且
当k≤0或k≥1时，f（x）在定义域内单调，
此时函数f（x）无最大值，
又当0＜k＜1时，f（x）在(0，

k

1-k

)内单调递增，在(

k

1-k

，+∞)内单调递减，
所以当0＜k＜1时函数f（x）有最大值M=f(

k

1-k

)=kln

k

1-k

-k，
因为M＞0，所以有kln

k

1-k

-k＞0，
解得k＞

e

1+e

，
因此k的取值范围是(

e

1+e

，1)（e为自然对数的底）．

点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．