Question

已知函数f(x)=(1+

1

tanx

)sin2x+msin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)．
（1）当m=0时，求函数f（x）在区间(

π

8

，

3π

4

)上的取值范围；
（2）当tanα=2时，f(α)=

6

5

，求m的值．

Answer 1

（1）当m=0时，f（x）=（1+

cosx

sinx

）sin²x=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x+sin2x

2

=

1

2

[

2

sin（2x-

π

4

）+1]
由已知x∈(

π

8

，

3π

4

)，f（x）的值域为（0，

1+ 2

2

）
（2）∵f(x)=(1+

1

tanx

)sin2x+msin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=sin²x+sinxcosx+

m(cos π 2 -cos2x)

2

=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

-

mcos2x

2

=

1

2

[sin2x-（1+m）cos2x]+

1

2

∵f(α)=

6

5

，
∴f（α）=

1

2

[sin2α-（1+m）cos2α]+

1

2

=

6

5

  ①
当tanα=2，得：sin2a=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

，cos2α=-

3

5

代入①式，解得m=-

7

5

．