Question

已知函数f(x)＝ax³＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．

Answer 1

解　(1)因f(x)＝ax³＋bx＋c，故f′(x)＝3ax²＋b，

由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，

故有即

化简得解得

(2)由(1)知f(x)＝x³－12x＋c，f′(x)＝3x²－12.

令f′(x)＝0，得x＝－2或2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为

增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.