题目内容

已知函数 $数学公式$ （ω＞0）的最小正周期为3π，
（Ⅰ）当　 $数学公式$ 时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

解： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
所以，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 及f（C）=1，得 $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，2sin²B=cosB+cos（A-C）2cos²A-sinA-sinA=0，
∴sin²A+sinA-1=0，解得 $\text{[math]}$ ∵0＜sinA＜1， $\text{[math]}$
分析：先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）-1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）
（I）由x的范围求出 $\text{[math]}$ 的范围，结合正弦函数的图象及性质可求
（II）由 $\text{[math]}$ 及f（C）=1可得， $\text{[math]}$ ，结合已知C的范围可求C及 A+B，代入2sin²B=cosB+cos（A-C），整理可得关于 sinA的方程，解方程可得
点评：以三角形为载体，综合考查了二倍角公式的变形形式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，考查了三角函数的性质（周期、单调区间、最值取得的条件）时常把ωx+φ作为一个整体．