Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点， ， 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线： 被圆： 所截得的弦长为，若直线与椭圆交于， 两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）当，即时， 面积取到最大值1．

【解析】试题分析：利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用的面积列出的方程，借助解出，写出椭圆方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.

试题解析：

（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为，则，所以，即，可得，

，

∴，∴， ，

所以椭圆的方程为．

（2）由题意知，圆心到直线的距离为1，即，所以．　

由消去，得，

∴，所以，

设， ，则， ，

所以

，

所以的面积为 ，

令，

则，

所以当，即时， 面积取到最大值1．