Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n是a_n与1的等差中项，则a_n等于（　　）

• A、1
• B、-1
• C、（-1）ⁿ
• D、（-1）^n-1

Answer 1

分析：由已知条件可知前n项和s_n与通项a_n之间的关系式2s_n=1+a_n，为求a_n，需考虑使用公式a_n=s_n-s_n-1，从而s_n与s_n-1之间的关系转化为a_n与a_n-1之间的递推关系，进而求解．

解答：解：由题意可知2s_n=1+a_n，
∴s_n=

1+an

2

，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

1+an

2

-

1+an-1

2

=

1

2

a_n-

1

2

a_n-1，
整理得

an

an-1

=-1，
又2s₁=1+a₁，∴a₁=1，
故数列{a_n}为首项为1，公比为-1的等比数列，
∴an=（-1）^n-1．
故选D．

点评：由s_n求a_n的问题可由关系式a_n=

s1(n=1) sn-sn-1(n≥2)

而得．若a₁满足s_n-s_n-1的形式，则用统一的形式表达a_n；若a₁不满足s_n-s_n-1的形式，则用分段的形式表达a_n．