Question

（2013•中山一模）函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的部分图象如下图所示，该图象与y轴交于点F（0，1），与x轴交于点B，C，M为最高点，且三角形MBC的面积为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(α-

π

6

)=

2 5

5

，α∈(0，

π

2

)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）根据三角形MBC的面积为π求得BC的值，可得函数的周期，从而求得ω的值，再把点（0，1）代入求得φ的值，从而得到函数的解析式．
（Ⅱ）由f(α-

π

6

)=2sinα=

2 5

5

，得sinα=

5

5

，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，利用二倍角公式、两角和差的余弦公式求得cos(2α+

π

4

)的值．

解答：解：（I）∵S△MBC=

1

2

×2×BC=BC=π，∴周期T=2π=

2π

ω

，ω=1．
由f（0）=2sinφ=1，得sinφ=

1

2

，又∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

，
∴f(x)=2sin(x+

π

6

)．
（Ⅱ）由f(α-

π

6

)=2sinα=

2 5

5

，得sinα=

5

5

．
∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，
∴cos2α=2cos2α-1=

3

5

，sin2α=2sinαcosα=

4

5

，
∴cos(2α+

π

4

)=cos2αcos

π

4

-sin2αsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，属于中档题．