Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA=

2 5

5

，sinB=

10

10

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若a-b=

2

-1，求边c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系求出sinA，cosB 的值，由cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB 求出cosC，
即可得到角C．
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

求得a=

2

 b，再由a-b=

2

-1，求出a，b的值，再用正弦定理求出c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵cosA=

2

5

5

，0＜A＜π，∴sinA=

5

5

．
又∵sinB=

10

10

，sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B，∴B∈(0，

π

2

)，∴cosB=

3 10

10

．
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2

2

，∴C=

3π

4

．
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得，

a

b

=

sinA

sinB

=

2

，∴a=

2

b．
又∵a-b=

2

-1，∴a=

2

，b=1．  又∵

b

sinB

=

c

sinC

，∴c=

5

．

点评：本题考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，求出cosC是解题的关键．