Question

若f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）+g（x）=2^x，求f（x）和g（x）的解析式．

Answer 1

分析：根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（-x）+g（-x）=2^-x，解方程组即可得到g（x）的解析式．

解答：解：∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（-x）=-g（x）
由f（x）+g（x）=2^x，
∴f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=2^-x，
∴g（x）=

1

2

（2^x-2^-x）
f（x）=

1

2

（2^x+2^-x）．

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法--方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（-x）+g（-x）=2^-x，是解答本题的关键．