Question

设函数C：f（x）=2ax-

b

x

+lnx，若f（x）在x=1，x=-

1

2

处取得极值，
（i ）求a，b的值；
（ii）在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0，求c的最小值．

Answer 1

（i）∵f（x）=2ax-

b

x

+lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
∵f（x）在x=1，x=-

1

2

处取得极值，
∴f′（1）=0，f′（

1

2

）=0，
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，
解得：

a=- 1 3 b=- 1 3

，
∴所求a，b的值为-

1

3

，-

1

3

；
（ii）在[

1

4

，2]存在存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，
由f′（x）=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]是单调递减，
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

2

，1]是单调递增，
当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故f（x）在[1，2]是单调递减；
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，2]上的极小值，
而f（

1

2

）=

1

3

+ln

1

2

=

1

3

-ln2，f（2）=-

7

6

+ln2，
且f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4，
又e³-16＞0，
∴lne

3

2

-ln4＞0，
∴[f（x）]_min=f（2），
∴c≥[f（x）]_min=-

7

6

+ln2，
∴c的取值范围为[-

7

6

+ln2，+∞），
∴c的最小值为

7

6

+ln2．