Question

（本小题满分12分）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。

   （I）求直线的方程及m的值；

   （II）若，求函数的最大值。

   （III）当时，求证：

Answer 1

解：（I）

的斜率为1，

且与函数的图像的切点坐标为（1，0），

的方程为      …………2分

又与函数的图象相切，

有一解。

由上述方程消去y，并整理得     ①

依题意，方程②有两个相等的实数根，

解之，

得m=4或m=-2，       …………5分

   （II）由（I）可知

…………7分

单调，

当时，单减。

，取最大值，其最大值为2。      …………10分

   （III）…………11分

证明，当时，

     …………12分