题目内容

已知数列{an}满足a1=1，且对一切自然数n∈N*有an+12-an+1=2Sn.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：+…+＜2.

答案：(1)解:由an+12-an+1=2Sn，知an2-an=2Sn-1，故an+12-an+1-an2+an=2an.

∴(an+1-an)(an+1+an)=an+1+an.

∵an＞0，∴an+1-an=1(n≥2).由a1=1,an＞0,a22-a2=2S1，得a2=2，∴a2-a1=1.

∴{an}为等差数列且an=n.

(2)证明:∵当k≥2时，＜，

∴＜1+=2＜2.

练习册系列答案
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已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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