Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AB=2，AD=

3

，E为PB中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求直线BF和平面PAD所成角的正弦值；
（3）在棱PD上是否存在点G，使∠AGC为钝角？若存在，求出

PG

PD

的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）再取AB的中点为M，证明FM∥平面PAD，EM∥平面PAD，可得平面EFM∥平面PAD，从而证得EF∥平面PAD．
（2）由题意可得直线BF和平面PAD所成角，即为DM和平面PAD所成角．找出∠MDH为DG和平面PAD所成角，用面积法求得MH=

3

2

，在直角三角形MDH中，根据sin∠MDH=

MH

MD

，运算求得结果．
（3）当点G和点D重合时，∠AGC=90°，此时，

PG

PD

=1．在线段PD上，取一点H，使OD=OH=

7

2

，则点G在线段DH上时（不含端点D、H）∠AGC为钝角．△PAB中，利用余弦定理求得cos∠PDB=

5

7

，△HOD中，由余弦定理解得x的值，可得 PH=PD-x的值．再由∠AGC为钝角时，

PH

PD

＜

PG

PD

＜1，求得

PG

PD

的取值范围．

解答：解：（1）再取AB的中点为M，则由题意可得FM与AD
平行且相等，而AD?平面PAD，
FM不在平面PAD 内，故有FM∥平面PAD．
再根据EM为△PAB的中位线可得EM∥PA，
而PA?平面PAD，EM不在平面PAD 内，
故有EM∥平面PAD．
这样，在平面EFM中，有2条相交直线EM、FM都和
平面PAD 平行，故有平面EFM∥平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）由题意可得FD和BM平行且相等，
故FDMB为平行四边形，
直线BF和平面PAD所成角即为DM和平面PAD所成角．
求得DM=

AM2+DM2

=

1+3

=2，再求得边长为2的等边三角形PAB的高线PM=

3

，
由侧面PAB⊥底面ABCD可得PM⊥平面ABCD，故△PMD为直角三角形，∴PD=

PM2+MD2

=

7

．
在利用勾股定理可得PA⊥AD，∴AD⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB．
过点M作MH⊥PA，则MH⊥平面PAD，故∠MDH为DG和平面PAD所成角．
用面积法求得MH=

3

2

，直角三角形MDH中，sin∠MDH=

MH

MD

=

3 2

2

=

3

4

．
（3）当点G和点D重合时，∠AGC=90°，此时，

PG

PD

=1．
当点G从点D向点P运动时，∠AGC先是逐渐变大，后又逐渐变小，当OG⊥PD时，∠AGC最大，（O为AC的中点）．
在线段PD上，取一点H，使OD=OH=

7

2

，则点G在线段DH上时（不含端点D、H）∠AGC为钝角．
△PAB中，由PB=2、PD=

7

、BD=

7

，利用余弦定理求得cos∠PDB=

5

7

．
△HOD中，由于OH=OD=

7

2

，设HD=x，由余弦定理可得

7

4

=

7

4

+x²-2•

7

2

•x•cos∠PDB，
解得x=

5 7

7

，∴PH=PD-x=

2 7

7

，

PH

PD

=

2

7

．
综上可得，∠AGC为钝角时，

PH

PD

＜

PG

PD

＜1，即

2

7

＜

PG

PD

＜1．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，属于难题．