Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足：对?x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，并且当x＞0时，f（x）＜3．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）是R上的单调性并作出证明；
（3）若不等式f（（t-2）|x-4|）+3＞f（t²+8）+f（5-4t）对t∈（2，4）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令x=0，y=0，结合f（x+y）=f（x）+f（y）-3，可求f（0）的值；
（2）在R上设出两个变量，利用当x＞0时，f（x）＜3，确定函数值的大小关系，即可证得结论；
（3）利用单调性，转化为具体不等式，再分离参数，利用基本不等式，即可求得实数x的取值范围．

解答：解：（1）令x=0，y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-3，
∴f（0）=3；
（2）f（x）是R上的减函数，证明如下：
设x₁＞x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-3-f（x₂）=f（x₁-x₂）-3，
∵x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）＜3，
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是R上的减函数；
（3）由（2）知f（x）是R上的减函数，
∴（t-2）|x-4|＜t²-4t+13对t∈（2，4）恒成立，
∴|x-4|＜

t2-4t+13

t-2

对t∈（2，4）恒成立，
∴|x-4|＜
∴|x-4|＜(

t2-4t+13

t-2

)min
设g(x)=

t2-4t+13

t-2

=(t-2)+

9

t-2

，当t∈（2，4）时g(x)∈(

13

2

，  +∞)
于是|x-4|≤

13

2

，解得：x∈[-

5

2

，  

21

2

]．

点评：本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查函数单调性的证明，考查恒成立问题，考查分离参数、基本不等式的运用，正确分离参数，求出最值是关键．