Question

设数列{a_n}的通项是关于x的不等式x²﹣x＜（2n﹣1）x （n∈N^*）的解集中整数的个数．数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设m，k，p∈N^*，m+p=2k，求证：+≥；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）不等式x²﹣x＜（2n﹣1）x
即x（x﹣2n）＜0，
解得：0＜x＜2n，其中整数有2n﹣1个，
故 a_n=2n﹣1．
（2）由（1）知，∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由==
≥=0，
即≥．  
（3）结论成立，证明如下：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则，
∵
=，
把m+p=2k代入上式化简得S_m+S_p﹣2S_k=≥0，
∴S_m+S_p≥2S_k．
又 S_m·S_p ==
≤
==．
∴=≥=，
故+≥ 成立．