Question

如图，正四棱柱ABCD-中，，点E在上且。

①证明：；求二面角的大小。

Answer 1

解法一：依题意，AB=2,CE=1．

(Ⅰ)连结AC交BD于点F，则 

由三垂线定理知,

在平面A₁CA内，连结EF交A₁C于点G,

由于,

故∽,,与互余。于是.

与平面内两条相交直线BD、EF都垂直。

所以.     

（Ⅱ）作,垂足为H,连结A₁H,由三垂线定理知,

故是平面角A₁-DE-B的平面角。

 ,

,

,

,

又,

,

所以二面角的大小为,

解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz依题设，

     ,  ,

     ,       

（Ⅰ）因为,,

     故,

      又,

     所以.

（Ⅱ）设向量,是平面DA₁E的法向量，则

故

令

<n,>等于二面角的平面角，

,

所以二面角的大小为.