Question

设函数f（x）=x²+ax-lnx（a∈R），
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞| f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），   
当a=1时，，
令f′（x）=0，得x=1，  
当时，；当x＞1时，；  
∴，无极大值。
（Ⅱ）       
=，      
当，即a=2时，，
f（x）在（0，+∞）上是减函数；      
当，即时，令得或x＞1；    
令得；     
当，即时，令得或；      
令得；
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数； 
当时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在上单调递增；
当时，f（x）在（0，1）和单调递减，在上单调递；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，
当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值，
∴，
∴，而a＞0，
经整理得，
由得，
所以m≥0。