Question

【题目】已知数列满足，．记，设数列的前项和为，求证：当时．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）利用数学归纳法证明，当时显然成立，假设当时不等式成立，即证成立即可；

（Ⅱ）要证，则需证：，构造函数，用导数法求函数的最小值，再由可得结论；

（Ⅲ）先证明和，再证，结合等比数列的求和公式即可证明.

证明：（Ⅰ）（1）当时显然成立；

（2）假设当时不等式成立，即，

则，，

，即，

设，

则，∴函数在上单调递增，

∴，即，

，

∴，假设成立，

综上得，当时，．

（Ⅱ）要证，即证：，

又因为，则，

则需证：，

由（1）得当时，，

设，

∵，

∴函数在上单调递减，而，

，

∴，

∴，

即，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，

则，即，

所以，

则，

∴，

∵，则，

∴，

即，所以，

可知为等比数列，首项为，公比，

利用等比数列的通项公式得出：，

∴，则

，且，

由题意知，由于，

则

，

又因为，且，

则，

则，

由于数列的前项和为，

∴，

即：.