Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

1

4

x2的焦点，离心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，点F是椭圆C的右焦点，若

AF

=λ1

MA

，

BF

=λ2

MB

，求证：

λ1+λ2

λ1λ2

为定值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由抛物线y=

1

4

x2化为x²=4y，可得焦点（0，1），是椭圆的短轴的一个端点，可得b=1，与已知离心率联立可得

b=1 c a = 2 5 5 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）设直线AB：y=k（x-2）代入椭圆方程

x2

5

+y2=1，化为（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，得到根与系数的关系，再利用向量运算及相等即可证明．

解答：（1）解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由抛物线y=

1

4

x2化为x²=4y，可得焦点（0，1），是椭圆的短轴的一个端点，
∴b=1，
又

c

a

=

2 5

5

，联立可得

b=1 c a = 2 5 5 a2=b2+c2

，解得a²=5，b=1，c=2．
故椭圆C的方程为

x2

5

+y2=1
（2）证明：设A，B，M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
F点的坐标为（2，0）．

AF

=(2-x1，-y1)，

MA

=(x1，y1-y0)，

BF

=(2-x2，-y2)，

MB

=(x2，y2-y0)，
由

AF

=λ1

MA

，得2-x1=λ1x1⇒λ1=

2-x1

x1

，
由

BF

=λ2

MB

，得2-x2=λ2x2⇒λ2=

2-x2

x2

，
则

λ1+λ2

λ1•λ2

=

2-x1 x1 + 2-x2 x2

2-x1 x1 • 2-x2 x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

，（※）
设直线AB：y=k（x-2）代入椭圆方程

x2

5

+y2=1，
有（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
由韦达定理x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

代入（※）
有

λ1+λ2

λ1•λ2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=

2• 20k2 1+5k2 -2• 20k2-5 1+5k2

4-2• 20k2 1+5k2 + 20k2-5 1+5k2

=-10．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算与相等等基础知识与基本技能方法，属于难题．