Question

已知函数f（x）=（x-1-alnx）•lnx，（a∈R）
（1）若a=

1

2

，求f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）=（x-1-

1

2

lnx）•lnx，的导数，令导数大于零，（小于零），解不等式即可求出它的单调递增（递减）区间；
（2）要求当x≥1时，f（x）≥0恒成立，即求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值即可，利用导数求函数的极值和单调区间，分类讨论求解极值点是否在定义域内．

解答：解：（1）f（x）=（x-1-

1

2

lnx）•lnx，的定义域为（0，+∞），
f′（x）=（1-

1

2x

）•lnx+（x-1-

1

2

lnx）•

1

x

=（lnx+1）（1-

1

x

）
令f′（x）＞0，解得x＞1或0＜x＜

1

e

，
f′（x）＜0，解得

1

e

＜x＜1，
∴f（x）在区间（

1

e

，1）上单调递减，在区间（1，+∞），（0，

1

e

）单调递增；
（2）∵当x≥1时，f（x）≥0恒成立，
∴当x=1时，f（x）=0恒成立，
当x＞1时，f（x）≥0恒成立，即（x-1-alnx）•lnx，≥0恒成立，
∴x-1-alnx≥0恒成立，
令g（x）=x-1-alnx，（x＞1）
由 g′(x)=1-

a

x

，令g'（x）=0，得 1-

a

x

=0，即x=a，
当a≤1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增；
x＞1时，g（x）＞g（1）=0，故恒成立；
当a＞1时，当x∈（1，a）时，g'（x）＜0，函数g（x）在（1，a）上单调递减；当x∈（a，+∞）时，
g'（x）＞0，函数g（x）在（a，+∞）上单调递增；
∴当x=a时，g（x）取最小值a-1-alna，
∴a-1-alna≥0，
而F（a）=a-1-alna，（a＞1），F′（a）=1-lna-1=-lna＜0，
∴a=1，与a＞1矛盾，
综上a≤1．

点评：此题是个难题．本题考查函数的导数研究函数的单调性，以及函数的导数在求函数最值的应用，解题的关键是将恒成立问题转化为函数最值问题解决，体现了转化的思想和分类讨论的思想．